Calcolo Esempi

$f (x) = 5 - 4 \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 4 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 - 4 \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2.3

$- 4$ e $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 4}{x}$

Passaggio 1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{4}{x}$

Passaggio 1.3

Sottrai $\frac{4}{x}$ da $0$ .

$- \frac{4}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{- 2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 2.5.2

$4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{4}{x} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6