Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5000 x}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $5000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5000 x}{x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$ .

$5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 3$ per $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$5000 \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.9

$5000$ e $\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5000$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $5000$ per $3$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Scomponi $5000$ da $- 5000 x^{2} + 15000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.3.1

Scomponi $5000$ da $- 5000 x^{2}$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.3.2

Scomponi $5000$ da $15000$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.3.3

Scomponi $5000$ da $5000 (- x^{2}) + 5000 (3)$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.5

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.7

Riscrivi $- (x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{5000 (- 1 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 5000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 5000 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 3)}^{2} x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} (3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.3

$- 5000$ e $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Riscrivi ${(x^{2} + 3)}^{2}$ come $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Espandi $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.3.2

Somma $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 ((2 x^{4} + 2 (6 x^{2}) + 2 \cdot 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.5.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 18) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{4} x + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.7.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5}) + 5000 (12 x^{3}) + 5000 (18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.9.1

Moltiplica $2$ per $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 5000 (12 x^{3}) + 5000 (18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.9.2

Moltiplica $12$ per $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 5000 (18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.9.3

Moltiplica $18$ per $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.10

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.11

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.11.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.11.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.11.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.11.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.12

Espandi $(- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{2} (x^{3} + 3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.4

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.1.5

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.2

Somma $- 12 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} + 0 + 36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.13.3

Somma $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} + 36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.14

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5}) + 5000 (36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.15

Moltiplica $- 4$ per $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x - 20000 x^{5} + 5000 (36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.16

Moltiplica $36$ per $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x - 20000 x^{5} + 180000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $20000 x^{5}$ da $10000 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 180000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.3

Somma $90000 x$ e $180000 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 270000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $10000 x$ da $- 10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 270000 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1

Scomponi $10000 x$ da $- 10000 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4}) + 60000 x^{3} + 270000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.1.2

Scomponi $10000 x$ da $60000 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4}) + 10000 x (6 x^{2}) + 270000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.1.3

Scomponi $10000 x$ da $270000 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4}) + 10000 x (6 x^{2}) + 10000 x (27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.1.4

Scomponi $10000 x$ da $10000 x (- x^{4}) + 10000 x (6 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 10000 x (27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.1.5

Scomponi $10000 x$ da $10000 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 10000 x (27)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4} + 6 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} + 6 u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ e la cui somma è $b = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.4.1.1

Scomponi $6$ da $6 u$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} + 6 (u) + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.4.1.2

Riscrivi $6$ come $- 3$ più $9$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} + (- 3 + 9) u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} - 3 u + 9 u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- u^{2} - 3 u) + 9 u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = - \frac{10000 x (u (- u - 3) - 9 (- u - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- u - 3) (u - 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.7

Scomponi.

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6

Elimina il fattore comune di $- x^{2} - 3$ e ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- (x^{2}) - 3) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6.4

Riscrivi $- (x^{2} + 3)$ come $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6.5

Scomponi $x^{2} + 3$ da $10000 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3) ((10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.6.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3) ((10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3) ((10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.7

Moltiplica $- 1$ per $10000$ .

$f'' (x) = - \frac{- 10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{(10000 x (x + 3)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.9

Moltiplica $- - \frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.6.9.2

Moltiplica $\frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $5000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5000 x}{x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$ .

$5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.1.2

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 3$ per $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$5000 \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.9

$5000$ e $\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5000$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2.2

Moltiplica $5000$ per $3$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.3

Scomponi $5000$ da $- 5000 x^{2} + 15000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.3.1

Scomponi $5000$ da $- 5000 x^{2}$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.3.2

Scomponi $5000$ da $15000$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.3.3

Scomponi $5000$ da $5000 (- x^{2}) + 5000 (3)$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.5

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.7

Riscrivi $- (x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{5000 (- 1 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5000 (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $5000$ ciascun termine in $5000 (x^{2} - 3) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $5000$ ciascun termine in $5000 (x^{2} - 3) = 0$ .

$\frac{5000 (x^{2} - 3)}{5000} = \frac{0}{5000}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5000 (x^{2} - 3)}{5000} = \frac{0}{5000}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2} - 3$ per $1$ .

$x^{2} - 3 = \frac{0}{5000}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $5000$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 5.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 5.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 5.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{10000 (\sqrt{3}) ((\sqrt{3}) + 3) ((\sqrt{3}) - 3)}{{({(\sqrt{3})}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(10000 \sqrt{3} \sqrt{3} + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $10000 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $3$ per $10000$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(10000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(10000 \cdot 3^{1} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{(10000 \cdot 3 + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $10000$ per $3$ .

$\frac{(30000 + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Espandi $(30000 + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30000 (\sqrt{3} - 3) + 30000 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30000 \sqrt{3} + 30000 \cdot - 3 + 30000 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30000 \sqrt{3} + 30000 \cdot - 3 + 30000 \sqrt{3} \sqrt{3} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1.1

Moltiplica $30000$ per $- 3$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \sqrt{3} \sqrt{3} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.2

Moltiplica $30000 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1.2.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{2} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{1} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3 + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.4

Moltiplica $30000$ per $3$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.1.5

Moltiplica $- 3$ per $30000$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 - 90000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.2

Sottrai $90000 \sqrt{3}$ da $30000 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 90000 + 90000 - 60000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.3

Somma $- 90000$ e $90000$ .

$\frac{0 - 60000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7.4

Sottrai $60000 \sqrt{3}$ da $0$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{1} + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3 + 3)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{6^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{216}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $- 60000$ e $216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $24$ da $- 60000 \sqrt{3}$ .

$\frac{24 (- 2500 \sqrt{3})}{216}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $24$ da $216$ .

$\frac{24 (- 2500 \sqrt{3})}{24 (9)}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 (- 2500 \sqrt{3})}{24 \cdot 9}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2500 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 9.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2500 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 10

$x = \sqrt{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{3}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 (\sqrt{3})}{{(\sqrt{3})}^{2} + 3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3}$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3}$

Passaggio 11.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Passaggio 11.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Passaggio 11.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Passaggio 11.2.1.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Passaggio 11.2.1.2

Somma $3$ e $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune di $5000$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $2$ da $5000 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (2500 \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (2500 \sqrt{3})}{2 (3)}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (2500 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 11.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $\frac{2500 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{10000 (- \sqrt{3}) ((- \sqrt{3}) + 3) ((- \sqrt{3}) - 3)}{{({(- \sqrt{3})}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $10000$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({(- \sqrt{3})}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(1 {\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{1} + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3 + 3)}^{3}}$

Passaggio 13.2.5

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{6^{3}}$

Passaggio 13.2.6

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 10000$ .

$\frac{(10000 \sqrt{3} \sqrt{3} - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.3

Moltiplica $3$ per $- 10000$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(10000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(10000 \cdot 3^{1} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{(10000 \cdot 3 - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.5

Moltiplica $10000$ per $3$ .

$\frac{(30000 - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.6

Espandi $(30000 - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30000 (- \sqrt{3} - 3) - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30000 (- \sqrt{3}) + 30000 \cdot - 3 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Passaggio 13.3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30000 (- \sqrt{3}) + 30000 \cdot - 3 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $30000$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} + 30000 \cdot - 3 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.2

Moltiplica $30000$ per $- 3$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.3

Moltiplica $- 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.7.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 30000$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \sqrt{3} \sqrt{3} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{2} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.7.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.7.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{1} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3 - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.5

Moltiplica $30000$ per $3$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Passaggio 13.3.7.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 30000$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 + 90000 \sqrt{3}}{216}$

Passaggio 13.3.7.2

Somma $- 30000 \sqrt{3}$ e $90000 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 90000 + 90000 + 60000 \sqrt{3}}{216}$

Passaggio 13.3.7.3

Somma $- 90000$ e $90000$ .

$\frac{0 + 60000 \sqrt{3}}{216}$

Passaggio 13.3.7.4

Somma $0$ e $60000 \sqrt{3}$ .

$\frac{60000 \sqrt{3}}{216}$

Passaggio 13.4

Elimina il fattore comune di $60000$ e $216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Scomponi $24$ da $60000 \sqrt{3}$ .

$\frac{24 (2500 \sqrt{3})}{216}$

Passaggio 13.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $24$ da $216$ .

$\frac{24 (2500 \sqrt{3})}{24 (9)}$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 (2500 \sqrt{3})}{24 \cdot 9}$

Passaggio 13.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2500 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 14

$x = - \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{5000 (- \sqrt{3})}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5000$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3}$

Passaggio 15.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 3}$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 3}$

Passaggio 15.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3}$

Passaggio 15.2.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3}$

Passaggio 15.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Passaggio 15.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Passaggio 15.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Passaggio 15.2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Passaggio 15.2.2.5

Somma $3$ e $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 15.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 5000$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 5000 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- 2500 \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 15.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- 2500 \sqrt{3})}{2 (3)}$

Passaggio 15.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- 2500 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2500 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 15.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{5000 x}{x^{2} + 3}$ .

$(\sqrt{3}, \frac{2500 \sqrt{3}}{3})$ è un massimo locale

$(- \sqrt{3}, - \frac{2500 \sqrt{3}}{3})$ è un minimo locale

Passaggio 17