Calcolo Esempi

$f (x) = 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + 6 \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \sin (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) + 12 (- \sin^{2} (x)) - 6 \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Scomponi $6 \cos (x)$ da $12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $6 \cos (x)$ da $12 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $6 \cos (x)$ da $6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $6 \cos (x)$ da $6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot 1$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7

Imposta $2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 7.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 7.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 7.2.7

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$12 \cdot 0^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 - 12 \cdot 1^{2} - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 - 12 \cdot 1 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$0 - 12 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 - 12 - 6 \cdot 1$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$0 - 12 - 6$

Passaggio 10.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $12$ da $0$ .

$- 12 - 6$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $6$ da $- 12$ .

$- 18$

Passaggio 11

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6$

Passaggio 12.2.2

Somma $6$ e $6$ .

$f (\frac{π}{2}) = 12$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $12$ .

$y = 12$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$12 \cdot 0^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$0 - 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 - 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 12 {(- 1)}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$0 - 12 \cdot 1 - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.9

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$0 - 12 - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$0 - 12 - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 - 12 - 6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.1.12

Moltiplica $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 12 - 6 \cdot - 1$

Passaggio 14.1.12.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$0 - 12 + 6$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $12$ da $0$ .

$- 12 + 6$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 12$ e $6$ .

$- 6$

Passaggio 15

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 16.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.2.1.8

Moltiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.8.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 - 6$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$12 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$12 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.5.5

Calcola l'esponente.

$12 \frac{3}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 (\frac{3}{4}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 (3) \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3 \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 3 - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.9

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$9 - 12 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$9 - 12 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.12

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.12.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$9 - 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.14

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$9 - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 - 12 \frac{1}{2^{2}} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$9 - 12 (\frac{1}{4}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.17

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.17.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$9 + 4 (- 3) \frac{1}{4} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$9 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$9 - 3 - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.18

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$9 - 3 - 6 \sin (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 18.1.19

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$9 - 3 - 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 18.1.20

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$9 - 3 - 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 18.1.21

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.21.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$9 - 3 - 6 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 18.1.21.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$9 - 3 + 2 (- 3) \frac{- 1}{2}$

Passaggio 18.1.21.3

Elimina il fattore comune.

$9 - 3 + 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2}$

Passaggio 18.1.21.4

Riscrivi l'espressione.

$9 - 3 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 18.1.22

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$9 - 3 + 3$

Passaggio 18.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sottrai $3$ da $9$ .

$6 + 3$

Passaggio 18.2.2

Somma $6$ e $3$ .

$9$

Passaggio 19

$x = - \frac{π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.6

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.9.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.9.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.10

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 20.2.1.11

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 20.2.1.12

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 20.2.1.13

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 20.2.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 20.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 20.2.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Passaggio 20.2.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1$

Passaggio 20.2.1.15

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - 3$

Passaggio 20.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 20.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 20.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 20.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{2}$

Passaggio 20.2.5.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 20.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 20.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{7 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$12 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.5

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$12 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.6.5

Calcola l'esponente.

$12 \frac{3}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 (\frac{3}{4}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.8.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 (3) \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3 \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 3 - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.9

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$9 - 12 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.12

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.12.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$9 - 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.14

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$9 - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 - 12 \frac{1}{2^{2}} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$9 - 12 (\frac{1}{4}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.17

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.17.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$9 + 4 (- 3) \frac{1}{4} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$9 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$9 - 3 - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 22.1.18

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$9 - 3 - 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 22.1.19

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$9 - 3 - 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 22.1.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.20.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$9 - 3 - 6 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 22.1.20.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$9 - 3 + 2 (- 3) \frac{- 1}{2}$

Passaggio 22.1.20.3

Elimina il fattore comune.

$9 - 3 + 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2}$

Passaggio 22.1.20.4

Riscrivi l'espressione.

$9 - 3 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 22.1.21

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$9 - 3 + 3$

Passaggio 22.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Sottrai $3$ da $9$ .

$6 + 3$

Passaggio 22.2.2

Somma $6$ e $3$ .

$9$

Passaggio 23

$x = \frac{7 π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{7 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 24

Trova il valore di y quando $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 24.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.5

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 24.2.1.8.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.8.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.9

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 24.2.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 24.2.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 24.2.1.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.12.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 24.2.1.12.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 24.2.1.12.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Passaggio 24.2.1.12.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1$

Passaggio 24.2.1.13

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} - 3$

Passaggio 24.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 24.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 24.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 24.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{2}$

Passaggio 24.2.5.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 24.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 24.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 25

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 12)$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ è un massimo locale

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ è un minimo locale

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 26