Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x + 16 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.51493326$

Passaggio 5

Calcola la derivata seconda per $x = - 0.51493326$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Passaggio 7

$x = - 0.51493326$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 0.51493326$ è un minimo locale

Passaggio 8

Trova il valore di y quando $x = - 0.51493326$ .

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.51493326$ nell'espressione.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1.1

Eleva $- 0.51493326$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Passaggio 8.2.2

Somma $2.12125013$ e $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Passaggio 9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ è un minimo locale

Passaggio 10