Calcolo Esempi

$f (x) = 8 \sqrt{x} e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.11

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.2

$8$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.3

Scomponi $2$ da $8 e^{- x}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.13.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.3

Riordina i termini.

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} (e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.13

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.16

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.17

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.15

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.16

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.17

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.18.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.18.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Passaggio 2.3.19

Semplifica.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Passaggio 2.3.20

$4$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$- 8$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.2

Scomponi $2$ da $- 8 e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.3.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.8

$- 4$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.9

Scomponi $2$ da $- 4 e^{- x}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.10.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{x}$

Passaggio 2.4.3.10.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.10.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.12

Per scrivere $- \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.13

Per scrivere $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.14.1

Moltiplica $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.14.2.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.14.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.3

Moltiplica $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.4

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.14.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.14.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.4.4

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.16

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.16.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.16.1.1

Sposta $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.16.1.2

Riordina $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.16.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 4 x e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.16.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.17

Sottrai $4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ da $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.18

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.19

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.19.1

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.19.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.19.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3 - 1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.19.1.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.19.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.19.2

Semplifica $x^{1}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.20

Per scrivere $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x}{x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.22

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.23

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{8 x^{1 + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.24

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.3.26

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Scomponi $2 e^{- x}$ da $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1.1

Scomponi $2 e^{- x}$ da $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.5.1.2

Scomponi $2 e^{- x}$ da $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.5.1.3

Scomponi $2 e^{- x}$ da $- \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.1.4

Scomponi $2 e^{- x}$ da $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.1.5

Scomponi $2 e^{- x}$ da $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.2

Per scrivere $4 x^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.4.1

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.4.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.1.4

Somma $1$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{4}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.1.5

Dividi $4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.5

Per scrivere $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.6

$- 4 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.2

Semplifica $- 4 x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.3

Espandi $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.4

Combina i termini opposti in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.4.1

Riordina i fattori nei termini di $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.4.2

Somma $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.4.3

Somma $2 x (2 x)$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.5.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.8.6

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 2.4.5.9

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.9.1

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- x}}{x}$

Passaggio 2.4.5.9.2

$\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot (2 e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.5.10

Sposta $2$ alla sinistra di $4 x^{2} - 4 x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.7

Combina.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 2.4.8

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 2.4.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.4.8.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.4.8.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.9

Moltiplica $2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.10

Riordina i fattori in $\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 4.1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 4.1.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 4.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.1.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.1.11

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.1.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.2

$8$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.3

Scomponi $2$ da $8 e^{- x}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.1.13.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova un fattore comune $e^{- 1 x}$ che è presente in ciascun termine.

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $u$ a $e^{- 1 x}$ .

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ sul lato destro dell'equazione sottraendolo a entrambi i lati.

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- 8 {(e x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2

Applica la regola del prodotto a $e x^{- x}$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} {(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.2.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.3.2.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.4.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Somma $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.3

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1

Scomponi $4$ da $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1.1

Scomponi $4$ da $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.2

Scomponi $4$ da $4 e^{- x}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.3

Scomponi $4$ da $4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1}{2} - \frac{2 x - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x - 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x) - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x + 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- 2 x + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6

Elimina il fattore comune di $- 2 x + 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 (1)}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 \cdot 1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- x + 1}{1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.4

Dividi $- x + 1$ per $1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}$ .

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.7

Scomponi $- 1$ da $e^{- x}$ .

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x})$ .

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.9

Riscrivi $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ come $- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ .

$\frac{4 (- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.5

Sostituisci $x$ a $u$ .

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.6

Scomponi $4 e^{- x}$ da $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $4 e^{- x}$ da $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $4 e^{- x}$ da $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $4 e^{- x}$ da $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Passaggio 5.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.8

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 5.8.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.8.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.8.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.9

Imposta $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Imposta $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ .

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.9.2

Risolvi $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 5.9.2.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2

Moltiplica per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1

Moltiplica ogni termine in $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.2.1.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.2.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- 2 x^{1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.2

Semplifica $- 2 x^{1}$ .

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x + 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Passaggio 5.9.2.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 5.9.2.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.9.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.9.2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.9.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 6.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{2}, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 e^{- (\frac{1}{2})} (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta $e^{- (\frac{1}{2})}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 (4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (1 - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 (1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (1 - 2 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.6

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{2 (- 1 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.7

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.4.2

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$ e $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6

Moltiplica $- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

$- 4$ e $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.2

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (4 \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{- (2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2^{2 + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.5

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.6

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.8.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{4 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6.8.2

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{- 2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.8

Moltiplica $4 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.8.1

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.8.2

$\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.9

La risposta finale è $\frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{3}}$

Passaggio 13.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 15