Calcolo Esempi

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{3} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Passaggio 2.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Passaggio 2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $- 3$ per $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.13.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos^{3} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos^{3} (x)$ uguale a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos^{3} (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.7

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 6.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $96$ per $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Passaggio 9.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica $- 32$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Calcola $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Passaggio 10.2.2.2

Eleva $- 0.41614683$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Passaggio 10.2.2.3

Moltiplica $- 32$ per $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Passaggio 10.2.2.4

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Passaggio 10.2.2.5

Moltiplica $2.30616178$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Passaggio 10.2.2.6

La risposta finale è $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Calcola $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Passaggio 10.3.2.2

Eleva $0.5403023$ alla potenza di $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Passaggio 10.3.2.3

Moltiplica $- 32$ per $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Passaggio 10.3.2.4

Calcola $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Passaggio 10.3.2.5

Moltiplica $- 5.04731536$ per $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Passaggio 10.3.2.6

La risposta finale è $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, π)$ nella derivata prima $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Passaggio 10.4.2.2

Eleva $- 0.41614683$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Passaggio 10.4.2.3

Moltiplica $- 32$ per $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Passaggio 10.4.2.4

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Passaggio 10.4.2.5

Moltiplica $2.30616178$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Passaggio 10.4.2.6

La risposta finale è $2.09698697$ .

$2.09698697$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(π, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Passaggio 10.5.2.2

Eleva $- 0.65364362$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Passaggio 10.5.2.3

Moltiplica $- 32$ per $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Passaggio 10.5.2.4

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Passaggio 10.5.2.5

Moltiplica $8.93661523$ per $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Passaggio 10.5.2.6

La risposta finale è $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Passaggio 10.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dell'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Passaggio 10.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Calcola $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Passaggio 10.6.2.2

Eleva $0.75390225$ alla potenza di $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Passaggio 10.6.2.3

Moltiplica $- 32$ per $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Passaggio 10.6.2.4

Calcola $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Passaggio 10.6.2.5

Moltiplica $- 13.71182002$ per $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Passaggio 10.6.2.6

La risposta finale è $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Passaggio 10.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{π}{2}$ , allora $x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 10.9

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = π$ , allora $x = π$ è un massimo locale.

$x = π$ è un massimo locale

Passaggio 10.10

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \frac{3 π}{2}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = π$ è un massimo locale

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = π$ è un massimo locale

Passaggio 11