Calcolo Esempi

$f (x) = 6 \csc (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \csc (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori di $- 6 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 6 \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \cot (x) \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.5

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.8

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 6 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 6 \csc (x) \cot^{2} (x) + 6 \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 6 \cot^{2} (x) \csc (x) + 6 \csc^{3} (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cot (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cot (x)$ uguale a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cot (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $π + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Passaggio 6.2

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.4

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.6

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3}$

Passaggio 9.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 6 \cdot 1$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $6$ per $1$ .

$0 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $6$ .

$6$

Passaggio 10

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel quarto quadrante.

$6 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$6 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.7

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.8

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 \cdot - 1 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.8.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.9

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$0 + 6 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Passaggio 13.1.10

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Passaggio 13.1.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 6 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 13.1.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 13.1.13

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$0 - 6$

Passaggio 13.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 14

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.2.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 6$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 6 \csc (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 6)$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{2}, - 6)$ è un massimo locale

Passaggio 17