Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 1.2.3

$4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 17 \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

$- 17$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Per scrivere $\frac{4}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2

Per scrivere $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (1 + x^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.1

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.4.1.3.2

Moltiplica $\frac{17}{1 + x^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Passaggio 1.4.1.3.3

Riordina i fattori di $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ e $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 17 x$ rispetto a $x$ è $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 17$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (1 + x^{2})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la regola del prodotto a $x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.2

Espandi $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.3.1

Sposta $- 17$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.3.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.4

Sposta $- 17$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.3.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.3.6.3

Somma $1$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.4.1

Moltiplica $- 17$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.4.2

Moltiplica $- (4 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.4.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.5

Espandi $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.6.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.6.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.3

Moltiplica $17$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.4

Moltiplica $17$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.5

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.6

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1.6.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.8.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.9

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.6.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.1.7

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.2

Combina i termini opposti in $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.2.1

Somma $- 17 x$ e $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.2.2

Somma $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.3

Sottrai $16 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.4

Somma $- 17 x^{3}$ e $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.5.5

Sottrai $12 x^{4}$ da $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6

Scomponi $2$ da $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6.2

Scomponi $2$ da $34 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6.3

Scomponi $2$ da $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6.4

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6.5

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6.6

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.6.7

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.8

Scomponi $- 1$ da $17 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.10

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.11

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.12

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.13

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.14

Riscrivi $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ come $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 4.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 17 \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 4.1.3.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

$- 17$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1

Per scrivere $\frac{4}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.4.1.2

Per scrivere $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 4.1.4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (1 + x^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.3.1

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 4.1.4.1.3.2

Moltiplica $\frac{17}{1 + x^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Passaggio 4.1.4.1.3.3

Riordina i fattori di $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.1.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Riordina i termini.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ e la cui somma è $b = - 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $- 17$ da $- 17 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi $- 17$ come $- 1$ più $- 16$ .

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 5.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.4

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 5.3.4.2

Risolvi $4 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 5.3.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.3

Imposta $1 + x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Imposta $1 + x^{2}$ uguale a $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Risolvi $1 + x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 6.2.3.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 6.2.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 6.2.3.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 6.2.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 6.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (1 + x^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, i, - i$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Scomponi $2$ da $256$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.7

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.8

$- 17$ e $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.12

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.13

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.14

Per scrivere $- \frac{17}{64}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.15

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $128$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.15.1

Moltiplica $\frac{17}{64}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.15.2

Moltiplica $64$ per $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.17.1

Moltiplica $- 17$ per $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.17.2

Sottrai $34$ da $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.18

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.19

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $128$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.19.2

Moltiplica $4$ per $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.21

Somma $- 33$ e $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.22

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.23

$2$ e $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.25

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.25.1

Moltiplica $2$ per $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.1.25.2

Somma $- 1$ e $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Passaggio 9.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Passaggio 9.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Passaggio 9.2.7

Somma $16$ e $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Passaggio 9.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{17}{16}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Passaggio 9.2.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Passaggio 9.2.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Passaggio 9.2.11

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Passaggio 9.2.12

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Passaggio 9.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$2$ e $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $2$ per $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $16$ per $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $510$ e $128$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $2$ da $510$ .

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $128$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Scomponi $17$ da $255$ .

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Passaggio 9.5.2

Scomponi $17$ da $289$ .

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Passaggio 9.5.3

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Passaggio 9.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Passaggio 9.6

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Scomponi $64$ da $4096$ .

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Passaggio 9.6.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Passaggio 9.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Passaggio 9.7

$15$ e $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Passaggio 9.8

Moltiplica $15$ per $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Semplifica $4 \ln (\frac{1}{4})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Passaggio 11.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Passaggio 11.2.1.5

Calcola $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 17$ per $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $4.16463727$ da $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $2$ per $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.4

Moltiplica $- 17$ per $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.6

Sottrai $1088$ da $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.7

Somma $- 576$ e $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.2.8

Somma $- 512$ e $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 13.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Passaggio 13.3.2

Somma $1$ e $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Passaggio 13.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Passaggio 13.3.4

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Passaggio 13.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $2$ per $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $16$ per $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Passaggio 13.4.3

Elimina il fattore comune di $- 1020$ e $4624$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1

Scomponi $68$ da $- 1020$ .

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Passaggio 13.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.2.1

Scomponi $68$ da $4624$ .

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Passaggio 13.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Passaggio 13.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{- 15}{68}$

Passaggio 13.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{15}{68}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $- - \frac{15}{68}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica $\frac{15}{68}$ per $1$ .

$\frac{15}{68}$

Passaggio 14

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Semplifica $4 \ln (4)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Passaggio 15.2.1.3

Calcola $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 17$ per $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $22.53890028$ da $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ è un massimo locale

$(4, - 16.99372283)$ è un minimo locale

Passaggio 17