Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Scomponi $4 \sin (x)$ da $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $4 \sin (x)$ da $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $4 \sin (x)$ da $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $4 \sin (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 6.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 7

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 7.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 7.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 7.2.6

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 0, π, 2 π$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Passaggio 10.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Passaggio 10.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Passaggio 10.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$4 + 0 - 4$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $4$ e $0$ .

$4 - 4$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Calcola $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Passaggio 11.2.2.1.3

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Passaggio 11.2.2.1.4

Moltiplica $- 1.66458734$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Passaggio 11.2.2.1.5

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Passaggio 11.2.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $1.51360499$ e $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $5.15079469$ .

$5.15079469$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, π)$ nella derivata prima $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Passaggio 11.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Passaggio 11.3.2.1.3

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Passaggio 11.3.2.1.4

Moltiplica $- 1.66458734$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Passaggio 11.3.2.1.5

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Passaggio 11.3.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Passaggio 11.3.2.2

Sottrai $3.6371897$ da $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(π, 2 π)$ nella derivata prima $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Calcola $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Passaggio 11.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Passaggio 11.4.2.1.3

Calcola $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Passaggio 11.4.2.1.4

Moltiplica $1.13464874$ per $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Passaggio 11.4.2.1.5

Calcola $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Passaggio 11.4.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Passaggio 11.4.2.2

Somma $- 1.08804222$ e $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $2.74765487$ .

$2.74765487$

Passaggio 11.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $9$ , dell'intervallo $(2 π, \infty)$ nella derivata prima $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Passaggio 11.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1.1

Calcola $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Passaggio 11.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Passaggio 11.5.2.1.3

Calcola $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Passaggio 11.5.2.1.4

Moltiplica $- 3.64452104$ per $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Passaggio 11.5.2.1.5

Calcola $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Passaggio 11.5.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Passaggio 11.5.2.2

Sottrai $1.64847394$ da $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Passaggio 11.5.2.3

La risposta finale è $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Passaggio 11.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = π$ , allora $x = π$ è un minimo locale.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 11.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 2 π$ , allora $x = 2 π$ è un massimo locale.

$x = 2 π$ è un massimo locale

Passaggio 11.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = π$ è un minimo locale

$x = 2 π$ è un massimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = π$ è un minimo locale

$x = 2 π$ è un massimo locale

Passaggio 12