Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \cos (4 x - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (4 x - 2)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 2)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 2)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 2$ .

$4 (- \sin (4 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 + 0)$

Passaggio 1.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) \cdot 4$

Passaggio 1.3.7.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$- 16 \sin (4 x - 2)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 \sin (4 x - 2)$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 2)]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \sin (4 x - 2)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 2$ .

$f'' (x) = - 16 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 2$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (4 x - 2) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) \cdot 4$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 16$ .

$f'' (x) = - 64 \cos (4 x - 2)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 16 \sin (4 x - 2) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 16$ ciascun termine in $- 16 \sin (4 x - 2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 16$ ciascun termine in $- 16 \sin (4 x - 2) = 0$ .

$\frac{- 16 \sin (4 x - 2)}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 16 \sin (4 x - 2)}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\sin (4 x - 2)$ per $1$ .

$\sin (4 x - 2) = \frac{0}{- 16}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 16$ .

$\sin (4 x - 2) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x - 2 = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$4 x - 2 = 0$

Passaggio 7

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 2$

Passaggio 8

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 2$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x - 2 = π - 0$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$4 x - 2 = π$

Passaggio 10.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = π + 2$

Passaggio 10.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π + 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π + 2$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 10.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 10.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $4 x - 2 = 0$ .

$x = \frac{1}{2}, \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 64 \cos (4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 64 \cos (2 (2) \frac{1}{2} - 2)$

Passaggio 13.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 \cos (2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 2)$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 \cos (2 - 2)$

Passaggio 13.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$- 64 \cos (0)$

Passaggio 13.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 64 \cdot 1$

Passaggio 13.4

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$- 64$

Passaggio 14

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 (2) (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) - 2)$

Passaggio 15.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 - 2)$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (0)$

Passaggio 15.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cdot 1$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 64 \cos (4 (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 64 \cos (4 \frac{π}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 17.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 64 \cos (4 \frac{π}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 17.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 64 \cos (π + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 17.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 64 \cos (π + 2 (2) \frac{1}{2} - 2)$

Passaggio 17.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 \cos (π + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 2)$

Passaggio 17.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 \cos (π + 2 - 2)$

Passaggio 17.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$- 64 \cos (π + 0)$

Passaggio 17.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$- 64 \cos (π)$

Passaggio 17.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 64 (- \cos (0))$

Passaggio 17.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 64 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.5

Moltiplica $- 64 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 64 \cdot - 1$

Passaggio 17.5.2

Moltiplica $- 64$ per $- 1$ .

$64$

Passaggio 18

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 19.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 19.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 19.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 (2) (\frac{1}{2}) - 2)$

Passaggio 19.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) - 2)$

Passaggio 19.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 - 2)$

Passaggio 19.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 0)$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π)$

Passaggio 19.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 (- \cos (0))$

Passaggio 19.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.5

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 19.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = - 4$

Passaggio 19.2.6

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 \cos (4 x - 2)$ .

$(\frac{1}{2}, 4)$ è un massimo locale

$(\frac{π}{4} + \frac{1}{2}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 21