Calcolo Esempi

$f (x) = 48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.9

$48$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.12

Scomponi $3$ da $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$f'' (x) = - 18 - 32 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3.16

$- 32$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{- 32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 18 - \frac{32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.9

$48$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $2$ per $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.12

Scomponi $3$ da $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + 1} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 18 x^{\frac{1 + 3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.1.5

Somma $1$ e $3$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $32$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} = - 32$

Passaggio 5.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{4}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 18 x^{\frac{4}{3}}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{1} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Semplifica.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Riordina i fattori in ${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x$ .

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.4.2

Dividi per ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ ciascun termine in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Dividi per ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ ciascun termine in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.4.4.4

Dividi per ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ ciascun termine in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.1

Dividi per ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ ciascun termine in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}, - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.5

Escludi le soluzioni che non rendono $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{32}{\sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{4}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- 18 - \frac{32}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- 18 - \frac{32}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 18 \cdot - 2 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $- 18$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.2.2.2

La risposta finale è $36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 18 \cdot 2 + \frac{32}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Moltiplica $- 18$ per $2$ .

$f' (2) = - 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2

La risposta finale è $- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11