Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.9

$4$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.11

Scomponi $2$ da $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.12.4

Dividi $6 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $6 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.9

$6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.11

Scomponi $2$ da $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.12.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.9

$4$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.11

Scomponi $2$ da $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.2.12.4

Dividi $6 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $6 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$6 \sqrt{x^{1}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$6 \sqrt{x}$

Passaggio 6.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{0^{1}}$

Passaggio 9.3

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11