Calcolo Esempi

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4.1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4.1 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1.6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4.1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4.1 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1.6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1.6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2

Dividi $4.1$ per $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Frazioni separate.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Dividi $1.6$ per $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Frazioni separate.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 11

Dividi $0$ per $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 12

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Passaggio 13

Sottrai $4.1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Passaggio 14

Dividi per $1.6$ ciascun termine in $1.6 \tan (x) = - 4.1$ e semplifica.

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Passaggio 14.1

Dividi per $1.6$ ciascun termine in $1.6 \tan (x) = - 4.1$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $1.6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Passaggio 14.2.1.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Passaggio 14.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.3.1

Dividi $- 4.1$ per $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Passaggio 15

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Passaggio 16

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Passaggio 17

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Passaggio 18

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 18.1

Somma $2 π$ a $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Passaggio 18.2

L'angolo risultante di $1.94286408$ è positivo e coterminale con $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = 1.94286408$

Passaggio 19

La soluzione dell'equazione $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.19872856$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 21.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Moltiplica $- 4.1$ per $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Passaggio 21.1.2

Moltiplica $1.6$ per $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Passaggio 21.2

Somma $3.81946823$ e $0.58166797$ .

$4.40113621$

Passaggio 22

$x = - 1.19872856$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.19872856$ è un minimo locale

Passaggio 23

Trova il valore di y quando $x = - 1.19872856$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.19872856$ nell'espressione.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Passaggio 23.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1.1

Moltiplica $4.1$ per $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Passaggio 23.2.1.2

Moltiplica $- 1.6$ per $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Passaggio 23.2.2

Sottrai $0.58166797$ da $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Passaggio 23.2.3

La risposta finale è $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Passaggio 24

Calcola la derivata seconda per $x = 1.94286408$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Passaggio 25

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.1

Moltiplica $- 4.1$ per $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Passaggio 25.1.2

Moltiplica $1.6$ per $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Passaggio 25.2

Sottrai $0.58166797$ da $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Passaggio 26

$x = 1.94286408$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.94286408$ è un massimo locale

Passaggio 27

Trova il valore di y quando $x = 1.94286408$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.94286408$ nell'espressione.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Passaggio 27.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1.1

Moltiplica $4.1$ per $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Passaggio 27.2.1.2

Moltiplica $- 1.6$ per $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Passaggio 27.2.2

Somma $3.81946823$ e $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Passaggio 27.2.3

La risposta finale è $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Passaggio 28

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ è un minimo locale

$(1.94286408, 4.40113621)$ è un massimo locale

Passaggio 29