Calcolo Esempi

$f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 1.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$2$ e $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 1.3.2

$\frac{2 x}{x + 5}$ e $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $x + 5$ per $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.6.4

Somma $0$ e $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.6.5

Moltiplica $\frac{8 x}{x + 5}$ per $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5.6.6

Moltiplica $5$ per $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $x + 5$ per ${(x + 5)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $x + 5$ per ${(x + 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Passaggio 1.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 5)}^{3}})$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{({(x + 5)}^{3})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{3 \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ${(x + 5)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.5.2

Scomponi ${(x + 5)}^{2}$ da ${(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi ${(x + 5)}^{2}$ da ${(x + 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi ${(x + 5)}^{2}$ da $- 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi ${(x + 5)}^{2}$ da ${(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi ${(x + 5)}^{2}$ da ${(x + 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x \cdot 1}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.10.3

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}})$

Passaggio 2.10.4

$40$ e $\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Moltiplica $- 2$ per $40$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.2.2

Moltiplica $40$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3

Scomponi $40$ da $- 80 x + 200$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Scomponi $40$ da $- 80 x$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.2

Scomponi $40$ da $200$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 (5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.3

Scomponi $40$ da $40 (- 2 x) + 40 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.5

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.7

Riscrivi $- (2 x - 5)$ come $- 1 (2 x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 1 (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{40 (2 x - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 4.1.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

$2$ e $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Passaggio 4.1.3.2

$\frac{2 x}{x + 5}$ e $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Passaggio 4.1.4

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $x + 5$ per $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.6.4

Somma $0$ e $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.6.5

Moltiplica $\frac{8 x}{x + 5}$ per $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5.6.6

Moltiplica $5$ per $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $x + 5$ per ${(x + 5)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $x + 5$ per ${(x + 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Passaggio 4.1.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$40 x = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 x = 0$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{40}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $40$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 5)}^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Poni $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{40 (2 (0) - 5)}{{((0) + 5)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{40 (0 - 5)}{{(0 + 5)}^{4}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $5$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{5^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{625}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $40$ per $- 5$ .

$- \frac{- 200}{625}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $- 200$ e $625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $25$ da $- 200$ .

$- \frac{25 (- 8)}{625}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $625$ .

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{- 8}{25}$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{8}{25}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- - \frac{8}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{8}{25})$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $\frac{8}{25}$ per $1$ .

$\frac{8}{25}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(\frac{0}{(0) + 5})}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $(0) + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{(0) + 5})}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 0 + 5})}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot 0 + 5 \cdot 1})}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2.3

Scomponi $5$ da $5 \cdot 0 + 5 \cdot 1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = 4 {(\frac{0}{0 + 1})}^{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{0}{1})}^{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Dividi $0$ per $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 13