Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- \frac{1}{x} + 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x} + 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x} + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x} = - 3$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- \frac{1}{x} = - 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x} = - 3$ per $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - 3 x$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 1$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\frac{1}{3^{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 9$

Passaggio 9.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $1 - \ln (\frac{1}{3})$ .

$y = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x - \ln (x)$ .

$(\frac{1}{3}, 1 - \ln (\frac{1}{3}))$ è un minimo locale

Passaggio 13