Calcolo Esempi

$f (x) = 32 x^{0.25}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 x^{0.25}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Passaggio 1.3

Moltiplica $0.25$ per $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Passaggio 1.4.2

$8$ e $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x^{0.75}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{0.75}}$ come ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $0.75$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 0.75$ .

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 0.75$ per $8$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{x^{1.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

Passaggio 2.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 x^{0.25}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $0.25$ per $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Passaggio 4.1.4.2

$8$ e $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 = 0$

Passaggio 5.3

Poiché $8 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Cambia $0.75$ in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica per $\frac{100}{100}$ per rimuovere il decimale.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

Passaggio 6.1.1.2

Moltiplica $100$ per $0.75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

Passaggio 6.1.1.3

Elimina il fattore comune di $75$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Scomponi $25$ da $100$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Passaggio 6.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Passaggio 6.1.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $4$ potenza.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Passaggio 9.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11