Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{y}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{y}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = y$ .

$3 y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{y - 1} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y x^{y - 1} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$ e $0$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$

Passaggio 1.6.3

Riordina i fattori in $- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = - 24 x + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y x^{y - 1}$ rispetto a $x$ è $3 y \frac{d}{d x} [x^{y - 1}]$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y \frac{d}{d x} (x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = y - 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$f'' (x) = 3 x^{y - 2} y (y - 1) - 24 x - 24$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6