Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \csc (4 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\csc (u)$ rispetto a $u$ è $- \csc (u) \cot (u)$ .

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i fattori di $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ .

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (4 x)$ e $g (x) = \csc (4 x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\cot (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.5

Eleva $\cot (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.7.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.7.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.7.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.7.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Passaggio 2.8.2

La derivata di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\csc (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Passaggio 2.12

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.13

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 2.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

Passaggio 2.15

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

Passaggio 2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Passaggio 2.16.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Passaggio 2.16.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Passaggio 2.16.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cot (4 x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cot (4 x)$ uguale a $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cot (4 x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$4 x = arccot (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Passaggio 5.2.4

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.4

Somma $π \cdot 2$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.4.2

Somma $2 \cdot π$ e $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.5.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Passaggio 5.2.6

La soluzione dell'equazione $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Passaggio 6

Imposta $\csc (4 x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\csc (4 x)$ uguale a $0$ .

$\csc (4 x) = 0$

Passaggio 6.2

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.6

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 9.1.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

Passaggio 9.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Passaggio 9.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.9

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

Passaggio 9.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 48 \cdot 1$

Passaggio 9.1.11

Moltiplica $48$ per $1$ .

$0 + 48$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $48$ .

$48$

Passaggio 10

$x = \frac{π}{8}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

Passaggio 11.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 11.2.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel quarto quadrante.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.3

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.9

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.10.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 13.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

Passaggio 13.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

Passaggio 13.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.12

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Passaggio 13.1.13

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Passaggio 13.1.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 13.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 + 48 \cdot - 1$

Passaggio 13.1.16

Moltiplica $48$ per $- 1$ .

$0 - 48$

Passaggio 13.2

Sottrai $48$ da $0$ .

$- 48$

Passaggio 14

$x = \frac{3 π}{8}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{8}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{8}$ .

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Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

Passaggio 15.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.2.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 \csc (4 x)$ .

$(\frac{π}{8}, 3)$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ è un massimo locale

Passaggio 17