Calcolo Esempi

$f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \ln (2 x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 1.3.6

$\frac{1}{2 x}$ e $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Passaggio 1.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Passaggio 1.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3.8

$6$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$\frac{6}{x} - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{6}{x} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3

Somma $- \frac{6}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \ln (2 x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 4.1.3.6

$\frac{1}{2 x}$ e $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Passaggio 4.1.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Passaggio 4.1.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Passaggio 4.1.3.8

$6$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{6}{x} - 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{x} - 3$ .

$\frac{6}{x} - 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{6}{x} - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{6}{x} = 3$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $\frac{6}{x} = 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{6}{x} = 3$ per $x$ .

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 = 3 x$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 x = 6$ .

$3 x = 6$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 6$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividi $6$ per $3$ .

$x = 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{6}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{6}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 10

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - 3 \cdot 2 + 6 \ln (2 (2))$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (2 (2))$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (4)$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica $6 \ln (4)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = - 6 + \ln (4^{6})$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $6$ .

$f (2) = - 6 + \ln (4096)$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $- 6 + \ln (4096)$ .

$y = - 6 + \ln (4096)$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$ .

$(2, - 6 + \ln (4096))$ è un massimo locale

Passaggio 13