Calcolo Esempi

$\int x {(6 + \sqrt{x})}^{2} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(6 + \sqrt{x})}^{2}$ come $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ .

$\int x ((6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})) d x$

Passaggio 1.2

Espandi $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (6 (6 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Passaggio 1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) d x$

Passaggio 1.3.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}) d x$

Passaggio 1.3.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}) d x$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) d x$

Passaggio 1.3.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) d x$

Passaggio 1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Passaggio 1.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Passaggio 1.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{1}) d x$

Passaggio 1.3.1.4.5

Semplifica.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x) d x$

Passaggio 1.3.2

Somma $6 \sqrt{x}$ e $6 \sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 12 \sqrt{x} + x) d x$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot 36 + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Sposta $36$ alla sinistra di $x$ .

$\int 36 \cdot x + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x \cdot x d x$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

$\int 36 x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x) + x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + 1} + x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int 36 x + 12 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 36 x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Passaggio 4

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$36 \int x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Passaggio 6

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{2} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 9.1.2

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$18 x^{2} + \frac{24 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$18 x^{2} + \frac{24}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} x^{3} + C$