Calcolo Esempi

$\int \frac{z}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} d z$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{z - 1}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{C}{z - 2}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(z - 1) {(z - 2)}^{2}$ .

$\frac{z (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $z - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{z {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di ${(z - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $z$ per $1$ .

$z = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $z - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$z = \frac{A (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) {(z - 2)}^{2}$ per $1$ .

$z = (A) {(z - 2)}^{2} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.2

Riscrivi ${(z - 2)}^{2}$ come $(z - 2) (z - 2)$ .

$z = A ((z - 2) (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.3

Espandi $(z - 2) (z - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$z = A (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$z = A (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$z = A (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1.1

Moltiplica $z$ per $z$ .

$z = A (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.4.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $z$ .

$z = A (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$z = A (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Sottrai $2 z$ da $- 2 z$ .

$z = A (z^{2} - 4 z + 4) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$z = A z^{2} + A (- 4 z) + A \cdot 4 + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$z = A z^{2} - 4 A z + A \cdot 4 + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 \cdot A + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.7

Elimina il fattore comune di ${(z - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.7.2

Dividi $(B) (z - 1)$ per $1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + (B) (z - 1) + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.8

Applica la proprietà distributiva.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z + B \cdot - 1 + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - 1 \cdot B + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.10

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.11

Elimina il fattore comune di ${(z - 2)}^{2}$ e $z - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.11.1

Scomponi $z - 2$ da $(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{z - 2}$

Passaggio 1.1.7.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.11.2.1

Moltiplica per $1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{(z - 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.7.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{(z - 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.7.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(C) (z - 1) (z - 2)}{1}$

Passaggio 1.1.7.11.2.4

Dividi $(C) (z - 1) (z - 2)$ per $1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C) (z - 1) (z - 2)$

Passaggio 1.1.7.12

Applica la proprietà distributiva.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z + C \cdot - 1) (z - 2)$

Passaggio 1.1.7.13

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z - 1 \cdot C) (z - 2)$

Passaggio 1.1.7.14

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z - C) (z - 2)$

Passaggio 1.1.7.15

Espandi $(C z - C) (z - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z (z - 2) - C (z - 2)$

Passaggio 1.1.7.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z \cdot z + C z \cdot - 2 - C (z - 2)$

Passaggio 1.1.7.15.3

Applica la proprietà distributiva.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z \cdot z + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

Passaggio 1.1.7.16

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.16.1.1

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.16.1.1.1

Sposta $z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C (z \cdot z) + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

Passaggio 1.1.7.16.1.1.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

Passaggio 1.1.7.16.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $C z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 2 \cdot (C z) - C z - C \cdot - 2$

Passaggio 1.1.7.16.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 2 C z - C z + 2 C$

Passaggio 1.1.7.16.2

Sottrai $C z$ da $- 2 C z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $A$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

Passaggio 1.1.8.2

Riordina $B$ e $z$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $- B$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z + C z^{2} - 3 C z - B + 2 C$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $4 A$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + B z + C z^{2} - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta $B z$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + C z^{2} + B z - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

Passaggio 1.1.8.6

Sposta $- 4 z A$ .

$z = A z^{2} + C z^{2} - 4 z A + B z - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $z^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $z$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 4 A + B - 3 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $z$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$0 = A + C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$A = - C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 4 A + B - 3 C$ con $- C$ .

$1 = - 4 (- C) + B - 3 C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 4 (- C) + B - 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$1 = 4 C + B - 3 C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Sottrai $3 C$ da $4 C$ .

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 4 A - 1 B + 2 C$ con $- C$ .

$0 = 4 (- C) - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Semplifica $4 (- C) - 1 B + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$0 = - 4 C - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.2

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$0 = - 4 C - B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - 4 C - B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.2.4.1.2

Somma $- 4 C$ e $2 C$ .

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $B + C = 1$ .

$B + C = 1$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 - C$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

$B = 1 - C$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = - B - 2 C$ con $1 - C$ .

$0 = - (1 - C) - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $- (1 - C) - 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- - C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $2 C$ da $C$ .

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $0 = - 1 - C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 - C = 0$ .

$- 1 - C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- C = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- C = 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{C}{1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.5.3.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 1 - C$ con $- 1$ .

$B = 1 - (- 1)$

$C = - 1$

$A = - C$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $1 - (- 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$B = 1 + 1$

$C = - 1$

$A = - C$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

Passaggio 1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = - C$ con $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = 2$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 2, C = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{C}{z - 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{z - 1} + \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{z - 2}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{z - 1} + \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{z - 1} d z + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = z - 1$ . Allora $d u_{1} = d z$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = z - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d z}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $z - 1$ .

$\frac{d}{d z} [z - 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $z - 1$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $z$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int \frac{1}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = z - 2$ . Allora $d u_{2} = d z$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = z - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d z}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $z - 2$ .

$\frac{d}{d z} [z - 2]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $z - 2$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [- 2]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $z$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{z - 2} d z$

Passaggio 10

Sia $u_{3} = z - 2$ . Allora $d u_{3} = d z$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u_{3} = z - 2$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d z}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $z - 2$ .

$\frac{d}{d z} [z - 2]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $z - 2$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [- 2]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $z$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{3} |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \frac{2}{u_{2}} - \ln (| u_{3} |) + C$

Passaggio 13

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{u_{2}} + \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{3} |}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $z - 2$ .

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{3} |}) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $z - 1$ .

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| z - 1 |}{| u_{3} |}) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $z - 2$ .

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| z - 1 |}{| z - 2 |}) + C$