Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.8

$2$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.10

Scomponi $2$ da $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.11.4

Dividi $5 x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.8

$5$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.8

$2$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.10

Scomponi $2$ da $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.11.4

Dividi $5 x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $- x$ da $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- x$ da $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- x$ da $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ uguale a $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Passaggio 5.5.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Semplifica ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.4

Semplifica.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$25 x = 4$

Passaggio 5.5.2.4

Dividi per $25$ ciascun termine in $25 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Dividi per $25$ ciascun termine in $25 x = 4$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Passaggio 5.5.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Passaggio 6.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 6.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 9.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 9.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Passaggio 9.1.1.4

Calcola l'esponente.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $15$ per $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $0$ per $2$ .

$- 2 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Passaggio 11.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{4}{25}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.2.4

Calcola l'esponente.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Passaggio 13.1.1.3.4

Calcola l'esponente.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Passaggio 13.1.2

$15$ e $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $15$ per $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Passaggio 13.1.4

Dividi $30$ per $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Passaggio 13.1.5

Dividi $6$ per $2$ .

$- 2 + 3$

Passaggio 13.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$1$

Passaggio 14

$x = \frac{4}{25}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{4}{25}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{4}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4}{25}$ nell'espressione.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $2 (\frac{32}{3125})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

$2$ e $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Passaggio 15.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $- \frac{16}{625}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{16}{625}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $625$ per $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Moltiplica $- 16$ per $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Passaggio 15.2.5.2

Sottrai $80$ da $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Passaggio 15.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ è un minimo locale

Passaggio 17