Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$4 x + 3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $7$ per $3$ .

$4 x + 21 x^{6} + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 1.4

Poiché $19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 21 x^{6} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $4 x + 21 x^{6}$ e $0$ .

$4 x + 21 x^{6}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$21 x^{6} + 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $21 x^{6} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [21 x^{6}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [21 x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21 x^{6}$ rispetto a $x$ è $21 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $21$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$21 x^{6} + 4 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$4 x + 3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $7$ per $3$ .

$4 x + 21 x^{6} + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 21 x^{6} + 0$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Somma $4 x + 21 x^{6}$ e $0$ .

$4 x + 21 x^{6}$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 21 x^{6} + 4 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $21 x^{6} + 4 x$ .

$21 x^{6} + 4 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $21 x^{6} + 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$21 x^{6} + 4 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x$ da $21 x^{6} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $21 x^{6}$ .

$x (21 x^{5}) + 4 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$x (21 x^{5}) + x \cdot 4 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x$ da $x (21 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$x (21 x^{5} + 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$21 x^{5} + 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $21 x^{5} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $21 x^{5} + 4$ uguale a $0$ .

$21 x^{5} + 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $21 x^{5} + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$21 x^{5} = - 4$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $21$ ciascun termine in $21 x^{5} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $21$ ciascun termine in $21 x^{5} = - 4$ .

$\frac{21 x^{5}}{21} = \frac{- 4}{21}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{21 x^{5}}{21} = \frac{- 4}{21}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} = \frac{- 4}{21}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{5} = - \frac{4}{21}$

Passaggio 5.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[5]{- \frac{4}{21}}$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica $\sqrt[5]{- \frac{4}{21}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Riscrivi $- \frac{4}{21}$ come ${({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{4}{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \frac{4}{21}}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{4}{21}}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = {(- 1)}^{5} \sqrt[5]{\frac{4}{21}}$

Passaggio 5.5.2.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$x = - \sqrt[5]{\frac{4}{21}}$

Passaggio 5.5.2.4.4

Riscrivi $\sqrt[5]{\frac{4}{21}}$ come $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$

Passaggio 5.5.2.4.5

Moltiplica $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}})$

Passaggio 5.5.2.4.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{\sqrt[5]{21} {\sqrt[5]{21}}^{4}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.2

Eleva $\sqrt[5]{21}$ alla potenza di $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{1} {\sqrt[5]{21}}^{4}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{1 + 4}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.4

Somma $1$ e $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{5}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.5

Riscrivi ${\sqrt[5]{21}}^{5}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{21}$ come $21^{\frac{1}{5}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{(21^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.5.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.6.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{1}}$

Passaggio 5.5.2.4.6.5.5

Calcola l'esponente.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21}$

Passaggio 5.5.2.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.7.1

Riscrivi ${\sqrt[5]{21}}^{4}$ come $\sqrt[5]{21^{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{21^{4}}}{21}$

Passaggio 5.5.2.4.7.2

Eleva $21$ alla potenza di $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{194481}}{21}$

Passaggio 5.5.2.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4 \cdot 194481}}{21}$

Passaggio 5.5.2.4.8.2

Moltiplica $4$ per $194481$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (21 x^{5} + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$126 {(0)}^{5} + 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$126 \cdot 0 + 4$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $126$ per $0$ .

$0 + 4$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $4$ .

$4$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{7} + 19$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 3 {(0)}^{7} + 19$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{7} + 19$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 + 19$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $19$ .

$f (0) = 19$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $19$ .

$y = 19$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$126 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{5} + 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$126 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{5}) + 4$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$126 ({(- 1)}^{5} \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$126 (- \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi ${\sqrt[5]{777924}}^{5}$ come $777924$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{777924}$ come $777924^{\frac{1}{5}}$ .

$126 (- \frac{{(777924^{\frac{1}{5}})}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$126 (- \frac{777924^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.3.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$126 (- \frac{777924^{\frac{5}{5}}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$126 (- \frac{777924^{\frac{5}{5}}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$126 (- \frac{777924^{1}}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.3.5

Calcola l'esponente.

$126 (- \frac{777924}{21^{5}}) + 4$

Passaggio 13.1.4

Eleva $21$ alla potenza di $5$ .

$126 (- \frac{777924}{4084101}) + 4$

Passaggio 13.1.5

Elimina il fattore comune di $63$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{777924}{4084101}$ nel numeratore.

$126 (\frac{- 777924}{4084101}) + 4$

Passaggio 13.1.5.2

Scomponi $63$ da $126$ .

$63 (2) \frac{- 777924}{4084101} + 4$

Passaggio 13.1.5.3

Scomponi $63$ da $4084101$ .

$63 \cdot 2 \frac{- 777924}{63 \cdot 64827} + 4$

Passaggio 13.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$63 \cdot 2 \frac{- 777924}{63 \cdot 64827} + 4$

Passaggio 13.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{- 777924}{64827}) + 4$

Passaggio 13.1.6

$2$ e $\frac{- 777924}{64827}$ .

$\frac{2 \cdot - 777924}{64827} + 4$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica $2$ per $- 777924$ .

$\frac{- 1555848}{64827} + 4$

Passaggio 13.1.8

Dividi $- 1555848$ per $64827$ .

$- 24 + 4$

Passaggio 13.2

Somma $- 24$ e $4$ .

$- 20$

Passaggio 14

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{2} + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{2}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}})) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (1 (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}})) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Riscrivi ${\sqrt[5]{777924}}^{2}$ come $\sqrt[5]{777924^{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{777924^{2}}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.4.2

Eleva $777924$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{605165749776}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.4.3

Riscrivi $605165749776$ come $21^{5} \cdot 148176$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.3.1

Scomponi $4084101$ da $605165749776$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{4084101 (148176)}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.4.3.2

Riscrivi $4084101$ come $21^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{21^{5} \cdot 148176}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $21$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{441}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.6

Elimina il fattore comune di $21$ e $441$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Scomponi $21$ da $21 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 (\sqrt[5]{148176})}{441}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.2.1

Scomponi $21$ da $441$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21 \cdot 21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21 \cdot 21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{148176}}{21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.7

$2$ e $\frac{\sqrt[5]{148176}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Passaggio 15.2.1.8

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 ({(- 1)}^{7} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7}) + 19$

Passaggio 15.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 ({(- 1)}^{7} (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{7}}{21^{7}})) + 19$

Passaggio 15.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{7}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1

Riscrivi ${\sqrt[5]{777924}}^{7}$ come $\sqrt[5]{777924^{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{\sqrt[5]{777924^{7}}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.2

Metti in evidenza $777924^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{\sqrt[5]{777924^{5} \cdot 777924^{2}}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.3

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{777924^{2}}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.4

Eleva $777924$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{605165749776}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.5

Riscrivi $605165749776$ come $21^{5} \cdot 148176$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.5.1

Scomponi $4084101$ da $605165749776$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{4084101 (148176)}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.5.2

Riscrivi $4084101$ come $21^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{21^{5} \cdot 148176}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 (21 \sqrt[5]{148176})}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.10.7

Moltiplica $21$ per $777924$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{21^{7}}) + 19$

Passaggio 15.2.1.11

Eleva $21$ alla potenza di $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}) + 19$

Passaggio 15.2.1.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.12.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}$ nel numeratore.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}) + 19$

Passaggio 15.2.1.12.2

Scomponi $3$ da $1801088541$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{3 (600362847)}) + 19$

Passaggio 15.2.1.12.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{3 \cdot 600362847}) + 19$

Passaggio 15.2.1.12.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{600362847} + 19$

Passaggio 15.2.1.13

Elimina il fattore comune di $- 16336404$ e $600362847$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.1

Scomponi $4084101$ da $- 16336404 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{600362847} + 19$

Passaggio 15.2.1.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.2.1

Scomponi $4084101$ da $600362847$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{4084101 (147)} + 19$

Passaggio 15.2.1.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{4084101 \cdot 147} + 19$

Passaggio 15.2.1.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{- 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $\frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $147$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21}$ per $\frac{7}{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7}{21 \cdot 7} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $21$ per $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7}{147} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7 - 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{14 \sqrt[5]{148176} - 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.5.2

Sottrai $4 \sqrt[5]{148176}$ da $14 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$ .

$y = \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ .

$(0, 19)$ è un minimo locale

$(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}, \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19)$ è un massimo locale

Passaggio 17