Calcolo Esempi

$f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ .

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{3}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.12

Somma $45 x^{2} + 10 x - 7$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 1.3.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 1.3.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Passaggio 1.3.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.16.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.16.2

Moltiplica $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ per $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.4

Moltiplica $45$ per $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.5

Moltiplica $45$ per $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.6

Moltiplica $- 45$ per $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.10

Somma $1$ e $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.11

Moltiplica $10$ per $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.12

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.13

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.14

Somma $- 90 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.15

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.16

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.17

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.18

Moltiplica $2$ per $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.19

Sottrai $14 x$ da $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.20

Moltiplica $15$ per $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.21

Somma $90 x^{3}$ e $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.22

Moltiplica $5$ per $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.23

Somma $- 70 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.24

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.25

Sottrai $14 x$ da $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.7.26

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Passaggio 1.4.7.27

Sottrai $2$ da $14$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (120 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $120 x^{3}$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 120 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $120$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 60$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $360 x^{2} - 120 x - 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Passaggio 4.1.2

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{3}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $3$ per $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.8

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.12

Somma $45 x^{2} + 10 x - 7$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 4.1.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 4.1.3.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 4.1.3.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Passaggio 4.1.3.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.16.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.16.2

Moltiplica $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ per $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.7.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.4

Moltiplica $45$ per $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.5

Moltiplica $45$ per $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.6

Moltiplica $- 45$ per $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.10

Somma $1$ e $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.11

Moltiplica $10$ per $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.12

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.13

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.14

Somma $- 90 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.15

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.16

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.17

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.18

Moltiplica $2$ per $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.19

Sottrai $14 x$ da $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.20

Moltiplica $15$ per $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.21

Somma $90 x^{3}$ e $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.22

Moltiplica $5$ per $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.23

Somma $- 70 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.24

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.25

Sottrai $14 x$ da $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4.7.26

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Passaggio 4.1.4.7.27

Sottrai $2$ da $14$ .

$f' (x) = 120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 0.55223569$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$360 {(- 0.55223569)}^{2} - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 0.55223569$ alla potenza di $2$ .

$360 \cdot 0.30496425 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $360$ per $0.30496425$ .

$109.78713273 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 120$ per $- 0.55223569$ .

$109.78713273 + 66.26828283 - 48$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $109.78713273$ e $66.26828283$ .

$176.05541557 - 48$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $48$ da $176.05541557$ .

$128.05541557$

Passaggio 10

$x = - 0.55223569$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 0.55223569$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 0.55223569$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.55223569$ nell'espressione.

$f (- 0.55223569) = 2 ((- 0.55223569) - 1) (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Sottrai $1$ da $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = 2 \cdot (- 1.55223569 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1))$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 0.55223569$ alla potenza di $3$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 \cdot - 0.16841214 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $15$ per $- 0.16841214$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Passaggio 11.2.2.3

Eleva $- 0.55223569$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 \cdot 0.30496425 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $5$ per $0.30496425$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $- 7$ per $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 + 3.86564983 - 1)$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Somma $- 2.5261822$ e $1.52482128$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 1.00136092 + 3.86564983 - 1)$

Passaggio 11.2.3.2

Somma $- 1.00136092$ e $3.86564983$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (2.86428891 - 1)$

Passaggio 11.2.3.3

Sottrai $1$ da $2.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 \cdot 1.86428891$

Passaggio 11.2.3.4

Moltiplica $- 3.10447138$ per $1.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 5.78763156$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 5.78763156$ .

$y = - 5.78763156$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0.21673477$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$360 {(0.21673477)}^{2} - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $0.21673477$ alla potenza di $2$ .

$360 \cdot 0.04697396 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $360$ per $0.04697396$ .

$16.91062653 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 120$ per $0.21673477$ .

$16.91062653 - 26.00817297 - 48$

Passaggio 13.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $26.00817297$ da $16.91062653$ .

$- 9.09754643 - 48$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $48$ da $- 9.09754643$ .

$- 57.09754643$

Passaggio 14

$x = 0.21673477$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.21673477$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0.21673477$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.21673477$ nell'espressione.

$f (0.21673477) = 2 ((0.21673477) - 1) (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Sottrai $1$ da $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = 2 \cdot (- 0.78326522 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1))$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 0.78326522$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Passaggio 15.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $0.21673477$ alla potenza di $3$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 \cdot 0.01018089 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $15$ per $0.01018089$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Passaggio 15.2.2.3

Eleva $0.21673477$ alla potenza di $2$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 \cdot 0.04697396 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Passaggio 15.2.2.4

Moltiplica $5$ per $0.04697396$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $- 7$ per $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 1.51714342 - 1)$

Passaggio 15.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Somma $0.15271336$ e $0.23486981$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.38758318 - 1.51714342 - 1)$

Passaggio 15.2.3.2

Sottrai $1.51714342$ da $0.38758318$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (- 1.12956024 - 1)$

Passaggio 15.2.3.3

Sottrai $1$ da $- 1.12956024$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 \cdot - 2.12956024$

Passaggio 15.2.3.4

Moltiplica $- 1.56653045$ per $- 2.12956024$ .

$f (0.21673477) = 3.33602096$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $3.33602096$ .

$y = 3.33602096$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 0.83550091$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$360 {(0.83550091)}^{2} - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $0.83550091$ alla potenza di $2$ .

$360 \cdot 0.69806177 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $360$ per $0.69806177$ .

$251.30224072 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 120$ per $0.83550091$ .

$251.30224072 - 100.26010986 - 48$

Passaggio 17.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $100.26010986$ da $251.30224072$ .

$151.04213086 - 48$

Passaggio 17.2.2

Sottrai $48$ da $151.04213086$ .

$103.04213086$

Passaggio 18

$x = 0.83550091$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.83550091$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 0.83550091$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.83550091$ nell'espressione.

$f (0.83550091) = 2 ((0.83550091) - 1) (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Sottrai $1$ da $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = 2 \cdot (- 0.16449908 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1))$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 0.16449908$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Passaggio 19.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Eleva $0.83550091$ alla potenza di $3$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 \cdot 0.58323125 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Passaggio 19.2.2.2

Moltiplica $15$ per $0.58323125$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Passaggio 19.2.2.3

Eleva $0.83550091$ alla potenza di $2$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 \cdot 0.69806177 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Passaggio 19.2.2.4

Moltiplica $5$ per $0.69806177$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Passaggio 19.2.2.5

Moltiplica $- 7$ per $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 5.8485064 - 1)$

Passaggio 19.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.1

Somma $8.74846884$ e $3.49030889$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (12.23877774 - 5.8485064 - 1)$

Passaggio 19.2.3.2

Sottrai $5.8485064$ da $12.23877774$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (6.39027133 - 1)$

Passaggio 19.2.3.3

Sottrai $1$ da $6.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 \cdot 5.39027133$

Passaggio 19.2.3.4

Moltiplica $- 0.32899816$ per $5.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 1.77338939$

Passaggio 19.2.4

La risposta finale è $- 1.77338939$ .

$y = - 1.77338939$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ .

$(- 0.55223569, - 5.78763156)$ è un minimo locale

$(0.21673477, 3.33602096)$ è un massimo locale

$(0.83550091, - 1.77338939)$ è un minimo locale

Passaggio 21