Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{3} y$ rispetto a $x$ è $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $3$ per $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.3

Poiché $4 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 1.5

Poiché $10 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Somma $18 y x^{2}$ e $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 1.6.1.2

Somma $18 y x^{2} - 2$ e $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$18 x^{2} y - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 x^{2} y - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $18 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $18 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 y \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 y (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$f'' (x) = 36 y x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 36 y x + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $36 y x$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 y x$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori di $36 y x$ .

$f'' (x) = 36 x y$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{3} y$ rispetto a $x$ è $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $3$ per $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $4 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Passaggio 4.1.5

Poiché $10 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Somma $18 y x^{2}$ e $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 4.1.6.1.2

Somma $18 y x^{2} - 2$ e $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Passaggio 4.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 18 x^{2} y - 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $18 x^{2} y - 2$ .

$18 x^{2} y - 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $18 x^{2} y - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} y = 2$

Passaggio 5.3

Dividi per $18 y$ ciascun termine in $18 x^{2} y = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $18 y$ ciascun termine in $18 x^{2} y = 2$ .

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{18 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{18 y}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $18 y$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{2 (9 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 (9 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{9 y}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\frac{1}{9 y}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{9 y}}$

Passaggio 5.5.1.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}}$

Passaggio 5.5.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}}$

Passaggio 5.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{y}}$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{y}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Passaggio 5.5.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Passaggio 5.5.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Passaggio 5.5.6.2

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Passaggio 5.5.6.3

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Passaggio 5.5.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Passaggio 5.5.6.6

Riscrivi ${\sqrt{y}}^{2}$ come $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Passaggio 5.5.6.6.5

Semplifica.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Passaggio 5.5.7

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 (\frac{\sqrt{y}}{3 y}) y$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 (y)} y$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 12 \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi l'espressione.

$12 \frac{\sqrt{y}}{y} y$

Passaggio 9.2

$12$ e $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi l'espressione.

$12 \sqrt{y}$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata prima $18 x^{2} y - 2$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 18 {(0)}^{2} y - 2$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 18 \cdot (0 y) - 2$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $18$ per $0$ .

$f' (0) = 0 y - 2$

Passaggio 10.2.2.1.3

Moltiplica $0$ per $y$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - 2$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 10.3

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11