Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.4.2.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.4.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 7.2.5

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 8

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 8.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 8.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 8.2.6

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 0, π, 2 π$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 - 2$

Passaggio 11.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 12

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Passaggio 12.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 12.2.2.1.2

Calcola $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 12.2.2.1.3

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Passaggio 12.2.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $0.75680249$ e $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Passaggio 12.2.2.3

La risposta finale è $2.57539734$ .

$2.57539734$

Passaggio 12.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, π)$ nella derivata prima $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Passaggio 12.3.2.1.2

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Passaggio 12.3.2.1.3

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Passaggio 12.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Passaggio 12.3.2.2

Sottrai $1.81859485$ da $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Passaggio 12.3.2.3

La risposta finale è $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Passaggio 12.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(π, 2 π)$ nella derivata prima $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Passaggio 12.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Passaggio 12.4.2.1.2

Calcola $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Passaggio 12.4.2.1.3

Calcola $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Passaggio 12.4.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Passaggio 12.4.2.2

Somma $- 0.54402111$ e $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Passaggio 12.4.2.3

La risposta finale è $1.37382743$ .

$1.37382743$

Passaggio 12.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $9$ , dell'intervallo $(2 π, \infty)$ nella derivata prima $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Passaggio 12.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Passaggio 12.5.2.1.2

Calcola $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Passaggio 12.5.2.1.3

Calcola $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Passaggio 12.5.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Passaggio 12.5.2.2

Sottrai $0.82423697$ da $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Passaggio 12.5.2.3

La risposta finale è $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Passaggio 12.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = π$ , allora $x = π$ è un minimo locale.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 12.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 2 π$ , allora $x = 2 π$ è un massimo locale.

$x = 2 π$ è un massimo locale

Passaggio 12.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = π$ è un minimo locale

$x = 2 π$ è un massimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = π$ è un minimo locale

$x = 2 π$ è un massimo locale

Passaggio 13