Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

Passaggio 5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (2 x) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (2 x) = - 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (1)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 9

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - 0$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Passaggio 10.1.2

Somma $2 π$ e $0$ .

$2 x = 2 π$

Passaggio 10.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2 π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.2.3.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$x = π$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin (2 (0))$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$4 \sin (0)$

Passaggio 13.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 13.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $2 - 2 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

Passaggio 14.2.2.1.2

Calcola $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 14.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

Passaggio 14.2.2.2

Somma $2$ e $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

Passaggio 14.2.2.3

La risposta finale è $3.30728724$ .

$3.30728724$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, π)$ nella derivata prima $2 - 2 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

Passaggio 14.3.2.1.2

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 14.3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

Passaggio 14.3.2.2

Somma $2$ e $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

Passaggio 14.3.2.3

La risposta finale è $3.30728724$ .

$3.30728724$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(π, \infty)$ nella derivata prima $2 - 2 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

Passaggio 14.4.2.1.2

Calcola $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

Passaggio 14.4.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

Passaggio 14.4.2.2

Sottrai $1.68770791$ da $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

Passaggio 14.4.2.3

La risposta finale è $0.31229208$ .

$0.31229208$

Passaggio 14.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.6

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 15