Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x \ln (x) + 10$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (x) + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (1 + \ln (x)) + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 0$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \ln (x) + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $2 + 2 \ln (x)$ e $0$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$2 \ln (x) + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \ln (x) + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{2}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (x) + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (1 + \ln (x)) + 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \ln (x) + 0$

Passaggio 4.1.4.2.2

Somma $2 + 2 \ln (x)$ e $0$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \ln (x) + 2$ .

$2 \ln (x) + 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 \ln (x) + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \ln (x) = - 2$

Passaggio 5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$\ln (x) = - 1$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (x) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{e}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{\frac{1}{e}}$

Passaggio 9

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 e$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{e}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{e}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e}) + 10$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e}) + 10$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi $\frac{1}{e}$ come $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1}) + 10$

Passaggio 11.2.1.3

Riscrivi $\ln (1 e^{- 1})$ come $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1})) + 10$

Passaggio 11.2.1.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e)) + 10$

Passaggio 11.2.1.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1) + 10$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (\ln (1) - 1) + 10$

Passaggio 11.2.1.7

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (0 - 1) + 10$

Passaggio 11.2.1.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot - 1 + 10$

Passaggio 11.2.1.9

Moltiplica $\frac{2}{e} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.9.1

$\frac{2}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{2 \cdot - 1}{e} + 10$

Passaggio 11.2.1.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e} + 10$

Passaggio 11.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e} + 10$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $- \frac{2}{e} + 10$ .

$y = - \frac{2}{e} + 10$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x \ln (x) + 10$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e} + 10)$ è un minimo locale

Passaggio 13