Calcolo Esempi

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1 - 3}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $2 \sqrt{2}$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.1.3

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.1.4

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.2

Combina $\sqrt{6}$ e $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.3

Riduci l'espressione $\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.3.3

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2})}}$

Passaggio 11.3.4

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (- \sqrt{2})$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Passaggio 11.3.5

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Passaggio 11.3.6

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.4

Moltiplica $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 11.5

Moltiplica $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Passaggio 11.6

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 11.7

Semplifica.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 11.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.9

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.10

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.10.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 11.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 11.10.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 11.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 11.10.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.11.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 11.11.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Forma decimale:

$2.26303343 \dots$