Calcolo Esempi

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 + x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 + x$ .

$\frac{(2 + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.2

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.2

Per scrivere $- x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.3

$- x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.1.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.1.1.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.1.1.4

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.1.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.2

Combina.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.5

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.6

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.6.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.6.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1 - \frac{x^{1}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.3.7

Semplifica $x^{1}$ .

$\frac{1 - \frac{x}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.4

Riordina i termini.

$\frac{- \frac{x}{2} + 1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- \frac{x}{2} + \frac{2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- x + 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{- x + 2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.7

Moltiplica $\frac{- x + 2}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- x + 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2})}$

Passaggio 14.8

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.9

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.10

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.11

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Passaggio 14.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$