Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $- 3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 3$ per $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 3$ per $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}}$

Passaggio 1.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}}$

Passaggio 1.1.3.6

Calcola il limite inserendo $- 3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 3$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 3$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}}$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.7.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 + 6 \cdot - 3 + 9}}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 18 + 9}}$

Passaggio 1.1.3.7.3

Sottrai $18$ da $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{- 9 + 9}}$

Passaggio 1.1.3.7.4

Somma $- 9$ e $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{0}}$

Passaggio 1.1.3.7.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{0^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.7.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]$ come $\frac{d}{d x} [x + 3]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.3.5.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}}]}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 1.3.5.1.3

Riscrivi il polinomio.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}]}$

Passaggio 1.3.5.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x + 3)}^{2}}]}$

Passaggio 1.3.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 x + 3$ per $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 3$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + 3$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 3$ per $x$ .

$2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 + 3$

Passaggio 4.2

Somma $- 6$ e $3$ .

$- 3$