Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} (4 x - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $4 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} (\frac{4 x (x - 3)}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3} (6 + x - x^{2})$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3}$ per $6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} (4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - 2 \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{(lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} x - 3 - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.7

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 3} 6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.9

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.10

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.11

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.11.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.11.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.12.1.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.1.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{(12 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.1.4

Moltiplica $12$ per $0$ .

$\frac{(0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(0 - 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.12.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.3.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.4

Somma $6$ e $3$ .

$\frac{- 2 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.5

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{- 2 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.2.12.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - 12 x - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 2$ e $g (x) = 6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) \frac{d}{d x} [6 + x - x^{2}] + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 + x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - (2 x)) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 12 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.12

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.15

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.17

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.18

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.19

Somma $8 x - 12$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.1

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.1.1

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.1.2

Scomponi $1$ da $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.2

Moltiplica $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to 3} \frac{(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.1

Espandi $(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$lim_{x \to 3} \frac{1 (4 x^{2}) + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.2.1

Moltiplica $4 x^{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.2

Moltiplica $- 12 x$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.2.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{2 + 1} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.6

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.2.8.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.9

Moltiplica $- 2$ per $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.3

Somma $4 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.4

Somma $- 12 x$ e $4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.5

Espandi $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 6 (8 x) + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.6.1

Moltiplica $8$ per $6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.2

Moltiplica $6$ per $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x \cdot x + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.6.4.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.5

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 \cdot x - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.6.7.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.20.4.6.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.8

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.6.9

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.7

Sottrai $12 x$ da $48 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 + 8 x^{2} - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.4.8

Somma $8 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3} + 20 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.5

Somma $28 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.6

Somma $- 8 x$ e $36 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 2 - 8 x^{3} - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.7

Sottrai $72$ da $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 8 x^{3} - 74 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.20.8

Sottrai $8 x^{3}$ da $- 8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.21

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.3.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.3.23

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + 0}$

Passaggio 3.3.24

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $48$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$48 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Passaggio 4.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $28$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Passaggio 4.6

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Passaggio 4.7

Calcola il limite di $74$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$48 \cdot 9 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $48$ per $9$ .

$432 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $28$ per $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Passaggio 6.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 27 - 1 \cdot 74$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $- 16$ per $27$ .

$432 + 84 - 432 - 1 \cdot 74$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $74$ .

$432 + 84 - 432 - 74$

Passaggio 6.2

Somma $432$ e $84$ .

$516 - 432 - 74$

Passaggio 6.3

Sottrai $432$ da $516$ .

$84 - 74$

Passaggio 6.4

Sottrai $74$ da $84$ .

$10$