Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{t^{3} - 27}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Sposta il termine $\frac{1}{t^{3} - 27}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} lim_{x \to 3} x^{4} - 81$

Passaggio 1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} (lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

Passaggio 1.3

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

Passaggio 1.4

Calcola il limite di $81$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81)$

Passaggio 2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\frac{1}{t^{3} - 3^{3}} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Passaggio 3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = t$ e $b = 3$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + t \cdot 3 + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.1.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 \cdot t + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Passaggio 3.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 1 \cdot 81)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 81)$

Passaggio 3.3

Sottrai $81$ da $81$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} \cdot 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)}$ per $0$ .

$0$