Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (x)$ come $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Passaggio 7

$- u]_{1}^{0}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ per $0$ e per $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 8.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 8.2.4

Somma $0$ e $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 8.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Passaggio 8.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 8.2.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 8.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Passaggio 8.2.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Passaggio 8.2.11.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Passaggio 8.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - - \frac{2}{3}$

Passaggio 8.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Passaggio 8.2.14

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 8.2.15

Somma $0$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$