Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 11

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Passaggio 12

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Passaggio 13

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Passaggio 14

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Passaggio 15

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Passaggio 16

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Passaggio 16.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Passaggio 16.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Passaggio 16.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $4$ per $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.1.4

Sottrai $16$ da $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.3

Moltiplica $4$ per $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.4

Somma $4096$ e $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.5

Riscrivi $4352$ come $16^{2} \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.5.1

Scomponi $256$ da $4352$ .

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.5.2

Riscrivi $256$ come $16^{2}$ .

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Passaggio 17.2.7

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Passaggio 17.2.8

Somma $4096$ e $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Passaggio 17.2.9

Riscrivi $4112$ come $4^{2} \cdot 257$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.9.1

Scomponi $16$ da $4112$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Passaggio 17.2.9.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Passaggio 17.2.10

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Passaggio 17.2.11

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Passaggio 17.3

Elimina il fattore comune di $240$ e $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Scomponi $4$ da $240$ .

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Passaggio 17.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1

Scomponi $4$ da $16 \sqrt{17}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Passaggio 17.3.2.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{257}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Passaggio 17.3.2.3

Scomponi $4$ da $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Passaggio 17.3.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Passaggio 17.3.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Passaggio 17.4

Moltiplica $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ per $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Passaggio 17.5

Moltiplica $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ per $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Passaggio 17.6

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Passaggio 17.7

Semplifica.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Passaggio 17.8

Elimina il fattore comune di $60$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.8.1

Scomponi $15$ da $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Passaggio 17.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.8.2.1

Scomponi $15$ da $15$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Passaggio 17.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Passaggio 17.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Passaggio 17.8.2.4

Dividi $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ per $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Passaggio 17.9

Applica la proprietà distributiva.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Passaggio 17.10

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Forma decimale:

$130.09456817 \dots$