Calcolo Esempi

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $3$ da ${(x - 5)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $5$ per $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite inserendo $5$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite di $\sin (x - 5) - (x - 5)$ inserendo $5$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 - 5) - (5 - 5)}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0}{\sin (0) - (5 - 5)}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 - (5 - 5)}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Passaggio 1.1.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x - 5) - (x - 5)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.9.6

Moltiplica $\cos (x - 5)$ per $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Passaggio 1.3.10

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x - 5)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.10.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 1.3.10.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 1.3.10.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + 0)}$

Passaggio 1.3.10.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.10.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1}$

Passaggio 1.3.11

Riordina i termini.

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$3 \frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(x - 5)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $5$ per $x$ .

$3 \frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$3 \frac{{(5 - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $5$ per $x$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 5)}$

Passaggio 3.1.3.3.1.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (0)}$

Passaggio 3.1.3.3.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$3 \frac{0}{- 1 + 1}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi ${(x - 5)}^{2}$ come $(x - 5) (x - 5)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.3

Espandi $(x - 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 5) - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.4.2

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.7

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.10

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.11

Somma $2 x - 10$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + \cos (x - 5)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

Passaggio 3.3.14

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.14.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.14.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 3.3.14.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 3.3.14.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 3.3.14.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 3.3.14.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 3.3.14.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + 0)}$

Passaggio 3.3.14.5

Somma $1$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \cdot 1}$

Passaggio 3.3.14.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5)}$

Passaggio 3.3.15

Sottrai $\sin (x - 5)$ da $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $5$ per $x$ .

$3 \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$3 \frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$3 \frac{10 - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Sottrai $10$ da $10$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Passaggio 4.1.3.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Passaggio 4.1.3.1.4

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 4.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $5$ per $x$ .

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 5)}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (0)}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$3 \frac{0}{- 0}$

Passaggio 4.1.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.3.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.5

Somma $2$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x - 5)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

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Passaggio 4.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 4.3.7.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 4.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 4.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 4.3.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + 0)}$

Passaggio 4.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \cdot 1}$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 5} \frac{1}{- \cos (x - 5)}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

Passaggio 5.4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Passaggio 5.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Passaggio 5.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $5$ per $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$6 \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 (- \frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)})$

Passaggio 7.3

Converti da $\frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$ a $\sec (5 - 1 \cdot 5)$ .

$6 (- \sec (5 - 1 \cdot 5))$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$6 (- \sec (5 - 5))$

Passaggio 7.5

Sottrai $5$ da $5$ .

$6 (- \sec (0))$

Passaggio 7.6

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.7

Moltiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 7.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 \cdot - 1$

Passaggio 7.7.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6$