Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 8} \frac{4 e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 4

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 5

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{lim_{x \to - 8} - x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Passaggio 8

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Passaggio 9

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 lim_{x \to - 8} e^{- x}}$

Passaggio 10

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{lim_{x \to - 8} - x}}$

Passaggio 11

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $- 8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Passaggio 12.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Passaggio 12.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $4 e^{- 8}$ come ${(2 e^{- 4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi $e^{8}$ come ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - {(e^{4})}^{2}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 e^{- 4}$ e $b = e^{4}$ .

$\frac{(2 e^{- 4} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 \frac{1}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.4.2

$2$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 \frac{1}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.4.4

$2$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.5

Per scrivere $e^{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + \frac{e^{4} e^{4}}{e^{4}}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 + e^{4} e^{4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica $e^{4}$ per $e^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 + e^{4 + 4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.7.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.8

Per scrivere $- e^{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4} \cdot \frac{e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.9

$- e^{4}$ e $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} + \frac{- e^{4} e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4} e^{4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.11

Moltiplica $e^{4}$ per $e^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Sposta $e^{4}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - (e^{4} e^{4})}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.11.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4 + 4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.1.11.3

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8}}$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $- 5 e^{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.2.3

$- 5 e^{8}$ e $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.2.5

Moltiplica $e^{8}$ per $e^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Sposta $e^{8}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 (e^{8} e^{8})}{e^{8}}}$

Passaggio 13.2.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8 + 8}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.2.5.3

Somma $8$ e $8$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.3

Moltiplica $\frac{2 + e^{8}}{e^{4}}$ per $\frac{2 - e^{8}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4} e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $e^{4}$ per $e^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4 + 4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.4.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Passaggio 13.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.6

Elimina il fattore comune di $e^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.6.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 + e^{8}) (2 - e^{8}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.7

Espandi $(2 + e^{8}) (2 - e^{8})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (2 - e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(4 - 2 e^{8} + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 \cdot e^{8} + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.4

Moltiplica $e^{8}$ per $e^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1.4.1

Sposta $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8} e^{8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8 + 8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.4.3

Somma $8$ e $8$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{16} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - 1 \cdot e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.1.6

Riscrivi $- 1 e^{16}$ come $- e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.2

Somma $- 2 e^{8}$ e $2 e^{8}$ .

$(4 + 0 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.8.3

Somma $4$ e $0$ .

$(4 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.9

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{1}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.10

$4$ e $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.11

$\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ e $e^{16}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - \frac{e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.13.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.13.2

Riscrivi $e^{16}$ come ${(e^{8})}^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(e^{8})}^{2}}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 13.13.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = e^{8}$ .

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Forma decimale:

$0.19999991 \dots$