Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$ come $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})$ spostando $3 x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Passaggio 2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1})}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 4.2

Semplifica $24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})$ spostando $24$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24})}$

Passaggio 4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24}$

Passaggio 4.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(\frac{8}{8 - 1})}^{24}$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $1$ da $8$ .

${(\frac{8}{7})}^{24}$

Passaggio 4.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8^{24}}{7^{24}}$

Passaggio 4.6

Eleva $8$ alla potenza di $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{7^{24}}$

Passaggio 4.7

Eleva $7$ alla potenza di $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{191581231380566000000}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $4722366482869640000000$ e $191581231380566000000$ .

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Passaggio 4.8.1

Scomponi $2000000$ da $4722366482869640000000$ .

$\frac{2000000 (2361183241434820)}{191581231380566000000}$

Passaggio 4.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.8.2.1

Scomponi $2000000$ da $191581231380566000000$ .

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Passaggio 4.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Passaggio 4.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Forma decimale:

$24.64942128 \dots$