Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{x}{10}}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{\frac{x}{10}}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}}$ come $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}})}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}})$ spostando $\frac{x}{10}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{x}{10} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{x}{10} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{x}{10} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $\frac{1}{10}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3.5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 3.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{10} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{10} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{10} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$e^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{1}{5} \cdot 4 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{5}$ e $4$ .

$e^{\frac{4}{5} \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Passaggio 5.3

Somma $8$ e $1$ .

$e^{\frac{4}{5} \cdot \ln (\frac{9}{8})}$

Passaggio 5.4

$\frac{4}{5}$ e $\ln (\frac{9}{8})$ .

$e^{\frac{4 \ln (\frac{9}{8})}{5}}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{\frac{4 \ln (\frac{9}{8})}{5}}$

Forma decimale:

$1.09880851 \dots$