Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite di $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $n$ da $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Scomponi $n$ da $2 n^{3}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.1.2

Scomponi $n$ da $3 n^{2}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.1.3

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.1.4

Scomponi $n$ da $n^{1}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.1.5

Scomponi $n$ da $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.1.6

Scomponi $n$ da $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 n$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2.1.2

Riscrivi $3$ come $1$ più $2$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2.1.4

Moltiplica $n$ per $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 n + 1$ .

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 729$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $3$ da $6 n^{3}$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Passaggio 2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Passaggio 2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

Passaggio 2.1.3

$- 243$ e $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ .

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $n$ e $n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $n$ da $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $n$ da $2 n^{3}$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $729$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.3

$729$ e $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $243$ da $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Scomponi $243$ da $729 \cdot 2 n^{2}$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $243$ da $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $243$ da $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.6

Espandi $(- 2 n - 1) (n + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1.1

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.5.7.1.1.1

Sposta $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.7.1.1.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.7.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.7.1.3

Riscrivi $- 1 n$ come $- n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.7.2

Sottrai $n$ da $- 2 n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.8

Sottrai $2 n^{2}$ da $6 n^{2}$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.5.9.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.9.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 n$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9.1.4

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.9.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

Passaggio 2.5.9.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 n + 1$ .

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$