Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 1.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{x}$ come $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(x + 1)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Passaggio 3.6

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(x)}^{x}$ come $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Passaggio 4.2

Espandi $\ln ({(x)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Passaggio 5.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Passaggio 6.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Passaggio 7.2

Sposta $e^{8 \cdot \ln (8)}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ per $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Passaggio 7.3.2

Somma $8$ e $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Passaggio 7.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.3.1

Semplifica $8 \ln (9)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Passaggio 7.3.3.2

Eleva $9$ alla potenza di $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica $- 8 \ln (8)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Passaggio 7.3.3.4

Eleva $8$ alla potenza di $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Passaggio 7.3.4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Passaggio 7.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ dall'esponente.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Passaggio 7.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Passaggio 7.6

Moltiplica $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ per $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Forma decimale:

$0.94226428 \dots$