Calcolo Esempi

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $9$ da $x^{9}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{\ln (x^{x})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $9$ .

$\frac{387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Semplifica $9 \cdot \ln (9)$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$\frac{387420489 - e^{\ln (9^{9})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.5.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{387420489 - 9^{9}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.5.1.4

Eleva $9$ alla potenza di $9$ .

$\frac{387420489 - 1 \cdot 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $387420489$ .

$\frac{387420489 - 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $387420489$ da $387420489$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{9} - x^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.5

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.7

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.8.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.4.9

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

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Passaggio 1.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \cdot 1 - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.5.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$9 lim_{x \to 9} x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.3

Sposta l'esponente $8$ da $x^{8}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite nell'esponente.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.6

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.8

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Passaggio 2.9

Sposta il limite nell'esponente.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}$

Passaggio 2.10

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}$

Passaggio 2.11

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $9$ per $9^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $9$ per $9^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $1$ .

$9^{1} \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9^{1 + 8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $1$ e $8$ .

$9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $9$ .

$387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica $9 \cdot \ln (9)$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$387420489 - e^{\ln (9^{9})} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$387420489 - 9^{9} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.5

Eleva $9$ alla potenza di $9$ .

$387420489 - 1 \cdot 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Passaggio 4.1.7

Semplifica $9 \cdot \ln (9)$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - e^{\ln (9^{9})}$

Passaggio 4.1.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 9^{9}$

Passaggio 4.1.9

Eleva $9$ alla potenza di $9$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 1 \cdot 387420489$

Passaggio 4.1.10

Moltiplica $- 1$ per $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 387420489$

Passaggio 4.2

Sottrai $387420489$ da $387420489$ .

$0 - 387420489 \ln (9)$

Passaggio 4.3

Sottrai $387420489 \ln (9)$ da $0$ .

$- 387420489 \ln (9)$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 387420489 \ln (9)$

Forma decimale:

$- 851249820.194417$