Calcolo Esempi

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $n$ da $x^{n}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $a^{n}$ che è costante, mentre $x$ tende a $a$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $a$ per $x$ .

$\frac{a^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.2.3

Sottrai $a^{n}$ da $a^{n}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} a}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $a$ per $x$ .

$\frac{0}{a - a}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $a$ da $a$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{n} - a^{n}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]$ .

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- a^{n}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a^{n}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $n x^{n - 1}$ e $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i fattori di $n x^{n - 1}$ .

$lim_{x \to a} \frac{x^{n - 1} n}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.5.3

Riordina i fattori in $x^{n - 1} n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $n x^{n - 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to a} n x^{n - 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $n$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$n lim_{x \to a} x^{n - 1}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $n - 1$ da $x^{n - 1}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$n {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $a$ per $x$ .

$n a^{n - 1}$