Calcolo Esempi

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Passaggio 1.4.2

Converti da $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ a $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Passaggio 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $90$ per $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Passaggio 4

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Passaggio 5

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (x)$ per $x$ tendente a $90$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Passaggio 6

Quando i valori $x$ tendono a $90$ , i valori della funzione tendono a $- 1.995$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (x)$ per $x$ tendente a $90$ da sinistra è $- 1.995$ .

$- 1.995$

Passaggio 7

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Passaggio 8

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (x)$ per $x$ tendente a $90$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Passaggio 9

Quando i valori $x$ tendono a $90$ , i valori della funzione tendono a $- 1.995$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (x)$ per $x$ tendente a $90$ da destra è $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $3$ per $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Passaggio 10.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Passaggio 10.3

Il valore esatto di $\cot (90)$ è $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 1.995$ per $0$ .

$0$