Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to \infty} (\frac{d}{d x}) (\ln (x))}{x^{- 1}}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

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Passaggio 1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{d}{d x} \ln (x)}{x^{- 1}}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (x)}{x^{- 1}}$

Passaggio 1.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\frac{\infty}{\infty}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\frac{\infty}{\infty}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1}{x^{- 1}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{x^{- 1}}$

Passaggio 3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{x^{- 1}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{- 1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$0 x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$0$