Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Passaggio 1.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Passaggio 1.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

$π$ e $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 3.2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Passaggio 3.2.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Passaggio 3.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.2.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 3.2.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 3.2.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.2.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.2.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimale:

$0.92387953 \dots$