Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.4

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.8.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.8.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.8.3

Somma $- 1 x$ e $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.8.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.2.9

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.14

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.15

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 4.3.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Passaggio 4.4

Riduci.

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Passaggio 4.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$