Calcolo Esempi

$y = {(\frac{3}{x - 2})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3}{x - 2})}^{3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{3}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{3}{x - 2}$ .

$3 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x - 2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}])$

Passaggio 3.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 2$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 3.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + 0))$

Passaggio 3.4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} \cdot 1)$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica ${(x - 2)}^{- 2}$ per $1$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} {(x - 2)}^{- 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{x - 2}$ .

$- 9 \frac{3^{2}}{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 9 \frac{9}{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.2

$- 9$ e $\frac{9}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 \cdot 9}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.3

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$\frac{- 81}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.5

Moltiplica $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ per $\frac{81}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.6

Moltiplica ${(x - 2)}^{2}$ per ${(x - 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.3.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2 + 2}}$

Passaggio 3.5.3.6.2

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$