Calcolo Esempi

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[n]{n}$ come $n^{\frac{1}{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $n^{\frac{1}{n}}$ come $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ spostando $\frac{1}{n}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{n}$ e $\ln (n)$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}$

Passaggio 4.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}$

Passaggio 4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\ln (n)$ rispetto a $n$ è $\frac{1}{n}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{1}{n}$ per $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n}$ tende a $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$