Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 5

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Passaggio 11

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Passaggio 12

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Passaggio 13

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Passaggio 14.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Passaggio 14.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

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Passaggio 15.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $12$ per $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.3

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.4

Sottrai $40$ da $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.5

Somma $6104$ e $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.6

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.7

Moltiplica $4$ per $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Passaggio 15.8

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Passaggio 15.9

Moltiplica $3$ per $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Passaggio 15.10

Somma $1$ e $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Passaggio 15.11

Somma $257$ e $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Passaggio 15.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ come $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Passaggio 15.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.13.1

Riscrivi $6111$ come $3^{2} \cdot 679$ .

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Passaggio 15.13.1.1

Scomponi $9$ da $6111$ .

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Passaggio 15.13.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Passaggio 15.13.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Passaggio 15.14

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ per $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Passaggio 15.15

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 15.15.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ per $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Passaggio 15.15.2

Eleva $\sqrt{1793}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Passaggio 15.15.3

Eleva $\sqrt{1793}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Passaggio 15.15.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Passaggio 15.15.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Passaggio 15.15.6

Riscrivi ${\sqrt{1793}}^{2}$ come $1793$ .

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Passaggio 15.15.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1793}$ come $1793^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 15.15.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 15.15.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.15.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.15.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.15.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Passaggio 15.15.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Passaggio 15.16

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.16.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Passaggio 15.16.2

Moltiplica $1793$ per $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Forma decimale:

$1.84614580 \dots$